学习匹配场

  MFP是一种定位算法，最早应用于海洋声学领域（Baggeroer & Kuperman，1988），目前在地震学中已广泛用于地震或微震定位（如 Cros et al.，2011；Gal et al.，2018）。以下为 MFP 的简要原理：

MFP 功率计算

首先计算频率域的谱向量：

$$
\boldsymbol{u}(\omega) = [u_1(\omega), u_2(\omega), \cdots, u_N(\omega)]^T \tag{1}
$$

其中，$N$ 表示接收器的总数，$T$ 表示转置操作，$u_i(\omega)$ 是第 $i$ 个接收器的傅里叶谱，$\omega$ 是角频率。

然后计算协方差矩阵：

$$
\boldsymbol{C}(\omega) = \boldsymbol{u}(\omega) \boldsymbol{u}^H(\omega) \tag{2}
$$

其中 $H$ 表示厄米共轭（复转置）操作。

通常我们仅保留相位信息，因此对协方差矩阵进行归一化处理：

$$
\tilde{C}{mn}(\omega) = \frac{C{mn}(\omega)}{|C_{mn}(\omega)|} \tag{3}
$$

接着构造导向矢量（steering vector）：

$$
\boldsymbol{a}(\omega, v, \boldsymbol{r}) = [e^{-i\omega |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_1|/v}, \cdots, e^{-i\omega |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_N|/v}]^T \tag{4}
$$

其中，$v$ 为波速，$\boldsymbol{r}$ 表示候选源位置，$\boldsymbol{r}_i$ 为第 $i$ 个接收器的位置。

最终，MFP 相干性定义为：

$$
P(\omega, v, \boldsymbol{r}) = \frac{1}{N^2} \boldsymbol{a}^H(\omega, v, \boldsymbol{r}) \tilde{\boldsymbol{C}}(\omega) \boldsymbol{a}(\omega, v, \boldsymbol{r}) \tag{5}
$$

当 $P(\omega, v, \boldsymbol{r})$ 达到最大值时，对应的 $\boldsymbol{r}$ 即为可能的震源位置。

不过，由于地球介质的非均匀性会影响地震波的传播速度，因此 MFP 在地震学中也存在局限。有研究者提出在三维速度模型中引入射线追踪（ray tracing）来计算旅行时间（Gal 等，2018）。

MFP阵列响应函数

类似于 F-K 波束形成（beamforming）方法，我们可以指定信号的震源位置、传播速度和频率，用以评估阵列几何结构的分辨能力。

已知信号的波速 $v$、震源位置 $\boldsymbol{r}_0$ 和频率 $\omega$，构造其复频谱向量如下：

$$
\boldsymbol{u}(\omega, v, \boldsymbol{r}_0) = [e^{-i\omega|\boldsymbol{r}_0-\boldsymbol{r}_1|/v}, \cdots, e^{-i\omega|\boldsymbol{r}_0-\boldsymbol{r}_N|/v}]^T \tag{6}
$$

对应的协方差矩阵为：

$$
\boldsymbol{C}(\omega) = \boldsymbol{u}(\omega, v, \boldsymbol{r}_0) \boldsymbol{u}^H(\omega, v, \boldsymbol{r}_0) \tag{7}
$$

提取协方差矩阵的相位信息：

$$
\tilde{C}{mn}(\omega) = \frac{C{mn}(\omega)}{|C_{mn}(\omega)|} \tag{8}
$$

然后再次生成导向矢量：

$$
\boldsymbol{a}(\omega, v, \boldsymbol{r}) = [e^{-i\omega|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_1|/v}, \cdots, e^{-i\omega|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_N|/v}]^T \tag{9}
$$

计算 MFP 相干性：

$$
P(\omega, v, \boldsymbol{r}) = \frac{1}{N^2} \boldsymbol{a}^H(\omega, v, \boldsymbol{r}) \tilde{\boldsymbol{C}}(\omega) \boldsymbol{a}(\omega, v, \boldsymbol{r}) \tag{10}
$$

为了简化处理，可以对多个频率下的相干性进行平均，得到最终的 MFP 相干性值：

$$
P_0(v, \boldsymbol{r}) = \frac{1}{K} \sum_{k}P(\omega_k, v, \boldsymbol{r}) \tag{11}
$$

参考文献：
Baggeroer, A. B., Kuperman, W. A., & Schmidt, H. (1988). Matched field processing: Source localization in correlated noise as an optimum parameter estimation problem. The Journal of the Acoustical Society of America, 83(2), 571-587.

Cros, E., Roux, P., Vandemeulebrouck, J., & Kedar, S. (2011). Locating hydrothermal acoustic sources at Old Faithful Geyser using matched field processing. Geophysical Journal International, 187(1), 385-393.

Gal, M., Reading, A. M., Rawlinson, N., & Schulte‐Pelkum, V. (2018). Matched field processing of three‐component seismic array data applied to Rayleigh and Love microseisms. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 123(8), 6871-6889.